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By Dr. habil. Ilka Agricola, Prof. Dr. sc. Thomas Friedrich (auth.)

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Satz 22 (Satz vom Winkelhalbierendenschnittpunkt). Die drei Halbierenden der Innenwinkel des Dreiecks schneiden sich in einem Punkt PWH . Beweis. Wir betrachten ein Dreieck und zwei der Winkelhalbierenden. Diese schneiden sich in einem Punkt P . A D P E B F C Von P aus f¨ allen wir das Lot auf alle Seiten und bezeichnen die Fußpunkte der Lote mit D, E, F . Die Dreiecke Δ(A, D, P ) und Δ(A, P, E) sind kongruent, weil sie eine gemeinsame Seite (n¨ amlich AP ) und zwei gleiche Winkel (einen rechten und den halben Dreieckswinkel an der Ecke A) haben.

Elementargeometrische Figuren und ihre Eigenschaften Dazu bemerken wir, dass die Beziehung sin2 α + cos2 α = 1 zun¨ achst 4b2 c2 sin2 α = 4b2 c2 − (b2 + c2 − a2 )2 impliziert. Durch zweimalige Anwendung der dritten Binomischen Formel x2 −y 2 = (x + y)(x − y) erhalten wir: 4b2 c2 sin2 α = [2bc + b2 + c2 − a2 ][2bc − b2 − c2 + a2 ] = [(b + c)2 − a2 ][a2 − (b − c)2 ] = [b + c + a][b + c − a][a − b + c][a + b − c]. Nach Definition von p als halbem Dreiecksumfang ergibt sich daraus (∗). Da die Fl¨ ache des Dreiecks sich als 2 vol(Δ) = b c sin α berechnen l¨ asst, folgt die Heron’sche Formel sofort.

Weiterhin ist L(z) die Identit¨ at nur f¨ ur ±12 , also k¨ chen linearen Funktionen bijektiv mit der Gruppe PSL(2, C) := SL(2, C)/{±12 } identifiziert werden. Insgesamt: Die Gruppe PSL(2, C) wirkt vermittels der angeˆ und wird von den Verkn¨ gebenen Formel auf der erweiterten Ebene C upfungen 48 2. Elementargeometrische Figuren und ihre Eigenschaften zweier Kreisspiegelungen erzeugt. Die gebrochen linearen Funktionen sind konforme Abbildungen, die verallgemeinerte Kreise in verallgemeinerte Kreise abbilden.

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